blog

Zadadnie 3

Korzystamy z rozwinięcia Laplace'a.

u_n = (-1)^2n-1 * (-1) * |[macierz u_n po usunięciu n-tego wiersza i n-1-tej kolumny]| + (-1)²ⁿ * a_n * u _n-1 =

= |[macierz u_n po usunięciu n-tego wiersza i n-1-tej kolumny]| + a_n * u _n-1

= (-1)^{2n - 2} * 1 * u_n-2 + a_n * u _n-1

= u_n-2 + a_n * u _n-1

Zadanie 4

Przeprowadzę indukcję po k

k = 1
dla macierzy

oczywiście wyznacznik wynosi a² - b²

Założenie: wyznacznik stopnia 2k jest równy (a^2 - b^2)^k
Twierdzenie: wyznacznik stopnia 2k+2 jest równy (a^2 - b^2)^(k+1)

Dowód:
Skorzystamy z rozwinięcia Laplace'a

Niech 2K = wyznacznik macierzy stopnia 2k

wyznacznik macierzy stopnia 2k+2 = a * (-1)* ^2k+2 * wyznacznik macierzy stopnia 2k+2 bez k+1-tej kolumny i k+1-tego rzędu + b * (-1)* ^k+2 * wyznacznik macierzy stopnia 2k+2 bez pierwszej kolumny i k+1-tego rzędu =

= a * a * (-1) ^ 2 * 2K + b * (-1)^{k + 2} * b (-1)^k+1 * b * 2K

= a² * 2K - b² * 2K =

= (a²-b²) * (a² - b²)^k

= (a² - b²)^k+1

Zadanie 5

Pomnóżmy pierwszą kolumnę razy 10 000, drugą razy 1000, trzecią razy 100 i czwartą razy 10. Wszytkiej kolumny dodajmy do ostaniej kolumny. Otrzymana w ten sposób kolumna (ostania) jest podzielna przez 17.

Zgodnie z twierdzeniem z notatek, jeżeli otrzymamy macierz B z macierzy A mnożąc kolumnę lub wiesz przez skalar, to |B| = 17 * |A|

Tak więc, wyznacznik jest podzielny przez 17.